Una qualunque funzione reale di variabile reale è scomponibile nella somma di una funzione Pari e di una Dispari.
Un suggerimento: tenete presente le definizioni algebriche di funzione pari e di funzione dispari e partite dal presupposto che tali componenti esitono.
Un suggerimento: tenete presente le definizioni algebriche di funzione pari e di funzione dispari e partite dal presupposto che tali componenti esitono.
Scadenza: la dimostrazione deve essere prodotta con un commento originale entro la mezzanotte di mercoledì 13 febbraio.
Compensi: un teorema o lo si dimostra o no, quindi: 4+ al primo e gli altri nisba!!!
La matematica rivela la sua natura di arte nell'atto del dimostrare.
10 commenti:
Una funzione può essere pari o dispari:
è pari se: f(x)=f(-x)
è dispari se: f(x)=-f(-x)
una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate mentre una dispari è simmetrica rispetto all'origine. (simmetria assiale e simmetria centrale)
Bisogna semplicemente dimostrare l'uguaglianza di queste due condizioni:
1) f(x)=f(-x)
es: f(x)= x^2+5 si sostituisce -x a x e viene: f(-x)= (-x)^2+5 e quindi f(-x)= x^2+5= f(x).
la funzione è pari.
2)f(x)=-f(-x)
es: f(x)=x^3-4x si cambia di segno la x cosi come si cambia di segno l'intera funzione e viene: f(x)= -[(-x)^3-(-4x)] e quindi f(x)= -[-x^3+4x] e in fine f(x)= x^3-4x che è la funzione di partenza e quindi f(x)=-f(-x).
Analizzando questi due esempi mi sono accorto che il valore dell'esponente ha un ruolo decisivo nel verificare se una funzione è pari o dispari...inoltre mi è sorto un dubbio, vale a dire se la funzione non possa essere ne pari ne dispari. Allora ho provato a fare una specie di "fusione" tra i due esempi e ho trovato che f(x)=x^2-4x non è ne pari ne dispari...oppure f(x)=x^2+x ecc. Quindi ci sono delle funzioni che non sono ne pari ne dispari...e credo anche che in genere la somma di una funzione pari e di una dispari dia una funzione che non è ne pari ne dispari...almeno credo.
Però posso anche provare a dimostrare che una funzione è scomponibile nella somma di una pari e una dispari:
f(x)= f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x) es:
f(x)=x^2+3 è uguale a :
x^2+3= x^2+3+x^2+3 + x^2+3-x^2-3
il risultaato è: f(x)=2x^2+6
a questo punto bisogna dividere per 2 perchè fino ad ora non ho fatto altro che sommare per due volte la funzione stessa.
in fine: f(x)= [f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)]/2
Credo di aver risposto alla domanda ma non so se va bene.
Buon pomeriggio. A mio parere è scorretto scrivere fp(x) + fd(x) = f(x), in quanto due funzioni non si sommano insieme, ma si compongono. Dunque al posto del + metterei un composto. Ora posso andare avanti con la mia dimostrazione: supponiamo per ipotesi che sia possibile scomporre una qualsiasi funzione reale f(x) in una composizione di una parte a parità pari e una parte a parità dispari, dunque:
f(x) = fp(x) composto fd(x)
Adesso seguiamo questo percorso:
prendo un elemento x da un dominio di fd(x) e inizio a comporre la funzione. Se la funzione ha parità dispari, allora vale che:
fd(-x) = -fd(x)
Il risultato di fd(x) sarà dunque situato nel codominio di fd(x). Tramite la composizione, prendiamo allora i seguenti valori uguali ma opposti prensenti nel codominio della funzione fd(x):
fd(-x) e -fd(-x) (1)
fd(x) e -fd(x) (2)
e verifichiamo allora se vale la condizione di parità pari. Una funzione ha parità pari se:
fp(x) = fp (-x)
Sostituiamo allora i valori trovati nella (1) e nella (2) nella ultima equazione:
fp(fd(-x)) = fp(fd(-x))
fp(fd(x)) = fp(fd(x))
In entrambi i casi si ottiene un identità e dunque, l'ipotesi di partenza è dimostrata. Mi domando però che cosa accade dal punto di vista grafico e se sia possibile individuare un elemento separatore tra le due funzioni. La dimostrazione è di mio pugno anche se immagino che non sembra. Ci si vede a scuola.
Vediamo di fare un po' di chiarezza: Vescicola ha ragione ad affermare che esistono funzioni nè Pari nè Dispari ma il teorema non lo contraddice, vuole solo dimostare che nel caso citato è possibile scindere la funzione priva di parità in una "somma" di una componente Pari e una Dispari. La dimostrazione di vescicola però non è tale.
Eudale non si è accorto che le funzioni si possono sommare? Basta che per ogni valore del dominio comune si esegua la somma delle immagini e ciò che si ottiene si definisce "funzione somma". Eudale si lancia in operazioni di composizione: interessanti ma non per lo scopo posto. Un indizio: scrivete la funzione f(x) per il punto simmetrico di "x", affiancatela al f(x), guardatele insieme e fatevi venire un'idea da "sistema". Buon lavoro.
Allora io avrei un'idea:
Generalmente ogni funzione f(x) è composta da un termine noto e da una combinazione di variabili e coefficenti:
f(x) = (variabili in x assieme a coefficenti) + (termine noto)
Vediamo di analizzarli:
il termine noto è sempre pari, e la sua funzione associata è f(x) = n. Infatti per due qualsiasi valori opposti che si attribuiscono alla x, vale sempre la relazione:
f(x)=f(-x)
intendendo f(x) = n + 0*x
Non è però mai dispari.
Adesso l'ottica si sposta sulle variabili:
ringraziando vescicola del golgi, è vero che l'esponente è molto importante nella parità di una funzione. Si prenda f(n)=x^n:
n = 0 -> 1 -> Funzione pari
n = 1 -> X^1 -> Funzione Dispari
n = 2 -> X^2 -> Funzione Pari
n = 3 -> X^3 -> Funzione Dispari
e cosi via in modo alternato.
Questo dipende dalla moltiplicazione del valore attribuito alla X. Se viene eseguita pari volte su un dato valore, si ha che questo uguale alla moltiplicazione per pari volte del suo opposto:
1 * 1 * 1 * 1 = - 1 * - 1 * - 1 * -1
Mentre eseguita dispari volte, la relazione precente non sussiste, ma il prodotto di un numero moltiplicato dispari volte per se stesso è uguale al prodotto dell'opposto di quel numero per dispari volte, cambiato di segno:
1 * 1 * 1 = -( - 1 * - 1 * - 1)
Dunque se io ho una funzione composta da una variabile con esponente dispari e un termine noto pari, allora l'ipotesi è dimostrata:
f(x) = x^3+ 3
f(x) = x^3 -> Dispari
f(x) = 3 -> Pari
Ma non per valori:
f(x) = x^2 + 3
f(x) = x^2 -> Pari
f(x) = 3 -> Pari
Come fare?
Resta ora da dimostrare la relazione per esponenti pari alla X. Si deve notare che però si possono avere molte più variabili con esponenti sia pari sia dispari, ma è possibile compiere operazioni sul termine noto per avere coppie di funzioni pari e dispari. Mi domando però che cosa succede con valori non dei numeri naturali all'esponente... Non conta più poi il fatto di numeri pari o dispari, ma il tipo di curva... La generalizzazione è lunga ma non impossibile e io non ne ho voglia almeno per ora... Forse domani...
Concludo l'intervento senza poter assegnare alcuna gratifica: in base al suggerimento che avavo dato, siano P(x) la componente pari e D(x) quella dispari scriviamo:
f(-x)=P(-x)+D(-x)
f(x) =P(x) +D(x)
Sommiamo membro a membro:
f(-x)+f(x)=P(-x)+P(x)+D(-x)+D(x)
Essendo P(-x)=P(x) e D(-x)=-D(x)
si ha: f(-x)+f(x)=2P(x)
quindi: P(x)=[f(x)+f(-x)]/2
abbiamo così ottenuto la componenete pari e se, inizialmente si esegue la differenza f(x)-f(-x) si ottiene, con le stesse considerazioni, la componenete dispari: D(x)=[f(x)-f(-x)]/2.
Grazie comunque per i contributi; alla prossima.
Scrivo quì perché non so come contattarla.
HO FINITO LA BATTAGLIA NAVALE!
E' in php perché in C++ non avevamo tutti i mezzi per farla, è inritardo ma non credo conti visto che ho finito in un giorno quello che in 20 non abbiamo fatto in sei mesi.
Fino a 5 minuti fa funzionava, ora l'ho uppata su un server remoto e sembra funzionare. Tuttavia, essendo tardi, mi sono dimenticato i tasti per far iniziare una nuova partita, quindi per azzerare tutto bisogna chiudere il browser in modo tale che vengano cancellati i cookies di sessione.
Gioca subito:
http://distrattodj.altervista.org/battaglia_navale/
Sorgente:
http://distrattodj.altervista.org/battaglia_navale/battaglia_navale.zip
Ringrazio Di Maria per il contributo che ho considerato nello scrutinio virtuale scaricabile dal mio Remoto. Però... il programma non funziona. Manda anche un file di istruzioni al seguente: steno.piccioli@istruzione.it
Professore sono Bachi di quinta C…Siccome non mi riesce più postare commenti sul blog di fisica volevo lasciare la risposta qui sul blog di matematica perché altrimenti non so come fare…
Riprovo!! Provo a guardare il problema da un altro punto di vista geometrico, che forse è l'unico!!
Quando le navi partono formano un triangolo, che procedendo in direzioni incidenti, formano triangoli simili e quindi le proporzioni fra angoli e lati rimangono le stesse, ne consegue che ognuna delle due navi vede sempre l'altra sotto lo stesso angolo e quindi le due navi potrebbero essere in rotta di collisione...non mi viene in mente altro...
Salve, mi sono imbattuto per caso in questo post e (anche se a distanza di anni) vorrei porre una riflessione sul tema originario, magari stupida ma spero utile..
Steno ha detto:
"siano P(x) la componente pari e D(x) quella dispari scriviamo:
f(-x)=P(-x)+D(-x)
f(x) =P(x) +D(x)
[...]
abbiamo così ottenuto la componenete pari e [...] la componenete dispari [...]"
ora io mi domando: supponendo che che f abbia una componente pari ed una dispari allora P e D sono sicuro le (uniche?) candidate ad esserlo e fin qui non ci piove e nessuno discute...ma chi ci garantisce che f abbia una componente pari e una dispari? Il problema posto inizialmente chiedeva proprio "data una f reale di variabile reale mostrare che è scomponibile in una somma di due funzioni di cui una pari e l'altra dispari" e non "sapendo che ogni funzione reale di variabile reale è scomponibile in una somma di due funzioni di cui una pari e l'altra dispari, trovare esplicitamente due rappresentanti che lo mostrino (nessuno ha mai parlato di unicità...)"..Dimostrata così mi sembra un po' debole..solo in forma però (l'idea in sostanza è corretta) perché basterebbe dire..
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avendo supposto che f sia una funzione reale di variabile reale abbiamo che il dominio di f è tutto il campo reale cioè dom(f)=R dunque, per ogni x in dom(f), si ha che pure (-x) in dom(f).
Definiamo dunque:
-) P:R-->R una funzione (reale di variabile reale) t.c. per ogni x P(x):=(f(x)+f(-x))/2;
-) D:R-->R t.c. per ogni x D(x):=(f(x)-f(-x))/2.
A questo punto P e D risultano entrambe (ben) definite su tutto R e quindi (avendo il medesimo dominio) è possibile (ben) definire la somma
P+D:R-->R
la quale ad ogni x, per definizione di funzione somma, viene associato il valore (reale)
(P+D)(x):=P(x)+D(x)=
=(f(x)+f(-x))/2+(f(x)-f(-x))/2=2f(x)/2=f(x).
Dunque, data una qualunque funzione f il cui dominio sia tutto R e a valori in R, esistono P e D, come sopra definite, tali per cui f=P+D.
Inoltre si ha
P(-x)=(f(-x)+f(x))/2=P(x) [per la commutatività della somma in R]
e anche
D(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-D(x)
cioè D(x)=-D(-x).
Risulta quindi che P è una funzione pari e D una dispari da cui segue la tesi.
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Mi rendo conto che la dimostrazione è essenzialmente la stessa ma penso che visto che veniva richiesta una dimostrazione di esistenza, oltre a esibire i candidati, è opportuno esplicitare, appunto, le ragioni della loro esistenza!
p.s.: Come nota aggiungo che se P' e D' fossero altre due funzioni la prima pari e la seconda dispari tali per cui f=P'+D' allora, poiché si avrebbe da un lato
f(x)+f(-x)=P(x)+D(x)+P(-x)+D(-x)=
=P(x)+D(x)+P(x)-D(x)=2P(x)
e dall'altro
f(x)+f(-x)=...=2P'(x),
risulterebbe che, per ogni x, 2P(x)=2P'(x) da cui P=P'. Similmente in modo del tutto analogo (esplicitando in termini delle due scomposizioni il valore su un generico x di f(x)-f(-x)) si mostra anche che D=D'. Da questo segue l'unicità degli addendi della scomposizione.
Spero di aver fatto cosa gradita.
Saluti,
Corrado.
Ringrazio Dork per il commento tutt'altro che inopportuno; ha infatti acutamente colto alcuni elementi da me trascurati nel porre il quesito. Azzardo una interpretazione: dal tono della risposta mi pare di riscontrare un'anima più Matematica che Fisica, come è quella dell'autore del post.
Invito Dork a scorrere anche il più recente blog: "Pontormatica" (del quale esite il link) che è nato come uno spazio libero di proposte stimolanti di natura Fisico-matematica.
Un saluto da S. Piccioli
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